2027학년도 신한대학교 약술형 논술 수학 실전 모의고사 제1회 해설집 (중 (기존유형 기본))

📚 교과서 원천 출처: [출처: 대수 교과서 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.20 예제 2·예제 3 로그의 성질과 밑변환 변형 | 성취기준: [12대수01-04]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 인문 10번·자연 10번 (문항정보 10, 24: 로그의 밑변환과 유리수 지수)

문제 1-1

두 양수 $a = \log_2 27$, $b = \log_3 16$에 대하여 $ab$의 값과 $(ab)^{\frac{1}{2}} + \log_2 128$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 로그의 성질과 밑의 변환 공식을 이용하여 로그의 곱과 거듭제곱을 계산할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 로그의 성질을 이용한 $a, b$ 정리 (30%)

$a = \log_2 3^{3} = 3\log_2 3$이고, $b = \log_3 2^{4} = 4\log_3 2$이다.

Step 2. 밑의 변환 공식으로 $ab$ 계산 (40%)

밑의 변환 공식 $\log_3 2 = \dfrac{1}{\log_2 3}$을 적용하면
$$ab = (3\log_2 3) \times \frac{4}{\log_2 3} = 12$$

Step 3. 주어진 식의 값 계산 (30%)

$\log_2 128 = \log_2 2^{7} = 7$이므로 구하는 값은 $(12)^{\frac{1}{2}} + 7$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
밑변환 공식으로 $ab$ 도출	$ab = 12$를 구한 경우	5점
최종 식의 값 도출	주어진 식의 값을 정확히 구한 경우	5점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 대수 교과서 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.13 문제 3·문제 4 로그방정식과 로그부등식 변형 | 성취기준: [12대수01-08], [12대수01-07]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 인문 10번 · 2026학년도 자연 8번 (문항정보 10, 22: 로그방정식의 풀이)

문제 1-2

방정식 $(\log_{2} x)^2 - k\log_{2} x + 6 = 0$의 두 실근을 $\alpha, \beta \; (\alpha < \beta)$라 하자. $\alpha = 4$일 때, 상수 $k$와 다른 한 근 $\beta$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 로그방정식을 치환하여 이차방정식으로 변환하고 주어진 근을 이용해 미정계수와 나머지 근을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 한 근 $\alpha$를 대입하여 상수 $k$ 도출 (40%)

$x = 4$을 대입하면 $\log_{2} 4 = 2$이므로
$$2^2 - 2k + 6 = 0 \implies 2k = 10 \implies k = 5$$

Step 2. 치환을 통한 이차방정식 풀이 (30%)

$\log_{2} x = t$로 치환하면 $t^2 - 5t + 6 = (t - 2)(t - 3) = 0$이므로 $t = 2$ 또는 $t = 3$이다.

Step 3. 다른 한 근 $\beta$ 확정 (30%)

$\alpha < \beta$이므로 $\log_{2} \beta = 3 \implies \beta = 2^{3} = 8$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
상수 $k$ 도출	$k = 5$을 구한 경우	5점
다른 한 근 $\beta$ 도출	$\beta = 8$를 구한 경우	5점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 대수 교과서 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.9 예제 2·문제 5 부채꼴의 호의 길이와 중심각 변형 | 성취기준: [12대수02-01]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 인문 14번 · 자연 14번 (문항정보 14, 28: 부채꼴의 호의 길이와 넓이)

문제 1-3

반지름의 길이가 $r \; (r \ge 4)$, 중심각의 크기가 $\theta$ (라디안)인 부채꼴의 둘레의 길이가 $14$이고 넓이가 $12$일 때, 반지름의 길이 $r$와 중심각의 크기 $\theta$를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 부채꼴의 호의 길이 $l = r\theta$와 넓이 $S = \dfrac{1}{2}rl$ 공식을 연립하여 반지름과 중심각의 크기를 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 둘레의 길이와 넓이 공식 연립 (50%)

부채꼴의 호의 길이를 $l$이라 하면 $2r + l = 14 \implies l = 14 - 2r$이다.
넓이 $S = \dfrac{1}{2}rl = 12$에 대입하면
$$\frac{1}{2}r(14 - 2r) = 12 \implies r^2 - 7r + 12 = 0$$

Step 2. 조건 $r \ge 4$를 만족하는 반지름 $r$와 중심각 $\theta$ 도출 (50%)

방정식을 풀면 $r \ge 4$이므로 $r = 4$이고, $l = 14 - 2(4) = 6$이다.
따라서 중심각의 크기는 $\theta = \dfrac{l}{r} = \dfrac{3}{2}$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
반지름의 길이 $r$ 도출	$r = 4$를 구한 경우	5점
중심각의 크기 $\theta$ 도출	$\theta = \dfrac{3}{2}$을 구한 경우	5점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 대수 교과서 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.31 예제 1·문제 1 사인법칙과 코사인법칙 변형 | 성취기준: [12대수02-03]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 자연 12번 (문항정보 26: 코사인법칙과 외접원의 반지름)

문제 1-4

삼각형 $ABC$에서 $\overline{AB} = 3$, $\overline{AC} = 5$, $\angle A = \dfrac{2\pi}{3}$일 때, 변 $BC$의 길이와 삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름의 길이 $R$를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 삼각형에서 코사인법칙으로 대변의 길이를 구하고 사인법칙을 적용하여 외접원의 반지름을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 코사인법칙으로 변 $BC$의 길이 계산 (50%)

코사인법칙에 의하여
$$\begin{aligned} \overline{BC}^2 &= 3^2 + 5^2 - 2 \times 3 \times 5 \times \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) \\ &= 9 + 25 + 15=49 \end{aligned}$$
$\overline{BC} > 0$이므로 $\overline{BC} = 7$이다.

Step 2. 사인법칙으로 외접원의 반지름 $R$ 계산 (50%)

사인법칙 $\dfrac{\overline{BC}}{\sin A} = 2R$에서 $\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$이므로
$$2R = \frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{14}{\sqrt{3}} \implies R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
변 $BC$의 길이 도출	코사인법칙으로 $\overline{BC} = 7$를 구한 경우	5점
외접원의 반지름 $R$ 도출	사인법칙으로 $R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$를 구한 경우	5점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 미래엔(황선욱) 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 (교과서 156쪽) 예제 1·문제 1 등차·등비수열과 수열의 귀납적 정의 변형 | 성취기준: [12대수03-06], [12대수03-02], [12대수03-03], [12대수03-05]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 인문 11번 · 자연 7번 (문항정보 11, 21: 등차수열의 일반항과 부분합)

문제 1-5

등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 $a_4 = 8$, $a_7 = 14$일 때, 첫째항 $a_1$, 공차 $d$, 그리고 첫째항부터 제$10$항까지의 합 $S_{10}$을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 등차수열의 일반항 공식으로 첫째항과 공차를 구하고 등차수열의 합 공식을 적용할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 두 항의 차를 이용하여 공차 $d$와 첫째항 $a_1$ 도출 (50%)

$a_7 - a_4 = 3d = 6$이므로 공차 $d = 2$이다.
$a_4 = a_1 + 3d = a_1 + 6 = 8$이므로 첫째항 $a_1 = 2$이다.

Step 2. 등차수열의 합 $S_{10}$ 계산 (50%)

$$S_{10} = \frac{10(2a_1 + 9d)}{2} = 5\left(2 \times 2 + 9 \times 2\right) = 5 \times 22 = 110$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
첫째항 $a_1$과 공차 $d$ 도출	$a_1 = 2$ (2점), $d = 2$ (3점)	5점
등차수열의 합 $S_{10}$ 도출	$S_{10} = 110$를 구한 경우	5점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.15 (교과서 22쪽) 예제 3·문제 7 함수의 극한에 대한 성질 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-01-02]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 10번 · 2026학년도 자연 11번 (문항정보 25: 무리식 부정형 극한)

문제 1-6

등식 $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x+a} - b}{x^2 - 4} = \dfrac{1}{16}$이 성립하도록 하는 상수 $a, b$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오. (단, $a, b$는 상수이다.)

1. 출제 의도 및 평가 목표

• $\dfrac{0}{0}$ 꼴 부정형 함수의 극한에서 분자의 극한 조건과 유리화를 활용하여 미정계수를 결정할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 분모가 $0$으로 수렴할 때 분자의 극한 조건 (30%)

$x \to 2$일 때 분모 $x^2 - 4 \to 0$이고 유한한 극한값이 존재하므로
$$\lim_{x \to 2} \left(\sqrt{x+a} - b\right) = \sqrt{2+a} - b = 0 \implies b = \sqrt{2+a}$$

Step 2. 분자의 유리화 및 $a, b$ 도출 (70%)

$$\begin{aligned} &\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+a} - \sqrt{2+a}}{(x - 2)(x + 2)} \\ &= \lim_{x \to 2} \frac{1}{(x + 2)\left(\sqrt{x+a} + \sqrt{2+a}\right)} \\ &= \frac{1}{8\sqrt{2+a}}=\frac{1}{16} \end{aligned}$$
따라서 $\sqrt{2+a} = 2 \implies a = 2$이고, $b = 2$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
상수 $a$ 도출	유리화를 통해 $a = 2$을 구한 경우	5점
상수 $b$ 도출	$b = 2$을 구한 경우	5점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.25 (교과서 74쪽) 예제 2·문제 2 접선의 방정식 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-02-05], [12미적Ⅰ-02-06]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 15번 (문항정보 30: 삼차함수 접선의 방정식)

문제 1-7

곡선 $y = x^3 - 2x^2 + 1x + 1$ 위의 점 $(2, 3)$에서의 접선의 방정식이 $y = ax + b$일 때, 상수 $a, b$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 도함수를 이용하여 곡선 위의 점에서의 접선의 기울기와 접선의 방정식을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 도함수 $f'(x)$와 접선의 기울기 $a = f'(2)$ 계산 (50%)

$f(x) = x^3 - 2x^2 + 1x + 1$이라 하면 $f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$이므로
$$a = f'(2) = 12 - 8 + 1 = 5$$

Step 2. 접선의 방정식으로부터 $y$절편 $b$ 도출 (50%)

점 $(2, 3)$을 지나고 기울기가 $5$인 접선의 방정식은
$$y - (3) = 5(x - 2) \implies y = 5x + (-7)$$
따라서 $b = -7$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
접선의 기울기 $a$ 도출	$a = f'(2) = 5$을 구한 경우	5점
상수 $b$ 도출	$b = -7$을 구한 경우	5점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.39 (교과서 88쪽) 예제 3·문제 5 함수의 극대와 극소 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-02-07], [12미적Ⅰ-02-08]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 인문 14번 · 자연 8번 (문항정보 14, 23: 삼차함수의 극값과 미정계수)

문제 1-8

함수 $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + c$는 $x = -1$에서 극댓값 $10$을 가지고, $x = 1$에서 극솟값을 가진다. 상수 $a, b, c$의 값과 함수 $f(x)$의 극솟값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 도함수의 부호 변화와 극값 조건을 이용하여 삼차함수의 미정계수와 극솟값을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 극값 조건 $f'(-1) = 0, \; f'(1) = 0$으로부터 $a, b$ 도출 (50%)

$f'(x) = 6x^2 + 2ax + b = 6(x + 1)(x - 1) = 6x^2 + (0)x + (-6)$이므로
$$2a = 0 \implies a = 0, \quad b = -6$$

Step 2. 극댓값 $f(-1) = 10$로부터 $c$ 도출 (25%)

$$f(-1) = -2 + (0) - (-6) + c = 10 \implies c = 6$$

Step 3. 극솟값 $f(1)$ 계산 (25%)

$$f(1) = 2(1) + (0)(1) + (-6)(1) + (6) = 2$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
상수 $a, b$ 도출	$a = 0$ (3점), $b = -6$ (3점)	6점 (각 3점)
상수 $c$ 및 극솟값 도출	$c = 6$ (2점), 극솟값 $2$ (2점)	4점 (각 2점)

📚 교과서 원천 출처: [출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.51 (교과서 100쪽) 예제 1·문제 1 속도와 가속도 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-02-10]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 인문 13번 (문항정보 13: 수직선 위를 움직이는 점의 속도와 가속도)

문제 1-9

수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t \; (t \ge 0)$에서의 위치 $x$가 $x(t) = t^3 + at^2 + bt$이다. 시각 $t = 1$에서 점 $P$의 속도가 $0$이고 가속도가 $4$일 때, 상수 $a, b$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 위치를 시각 $t$에 대하여 미분하여 속도와 가속도를 구하고 미정계수를 결정할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 속도 $v(t)$와 가속도 $\alpha(t)$ 도출 (40%)

$$v(t) = \frac{dx}{dt} = 3t^2 + 2at + b, \quad \alpha(t) = \frac{dv}{dt} = 6t + 2a$$

Step 2. $t = 1$에서의 조건 대입 및 $a, b$ 계산 (60%)

$\alpha(1) = 6 + 2a = 4 \implies a = -1$이고,
$v(1) = 3 + 2(-1) + b = 0 \implies b = -1$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
상수 $a$ 도출	가속도 조건으로부터 $a = -1$을 구한 경우	5점
상수 $b$ 도출	속도 조건으로부터 $b = -1$을 구한 경우	5점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 (교과서 127쪽) 예제 3·문제 5 정적분의 성질 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-03-03], [12미적Ⅰ-03-04]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 인문 12번 · 자연 12번 (문항정보 12, 27: 대칭구간 정적분)

문제 1-10

다항함수 $f(x) = 4x^3 - 3x^2 + 4x - 1$에 대하여 정적분 $\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)\,dx$와 $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,dx$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 대칭구간 $[-1, 1]$에서 기함수와 우함수의 정적분 성질을 활용하여 정적분의 값을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 기함수 소거를 통한 $\int_{-1}^{1} f(x)\,dx$ 계산 (50%)

홀수차 항 $4x^3, 4x$는 기함수이므로 구간 $[-1, 1]$에서의 정적분이 $0$이다.
$$\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{1} (-3x^2 - 1)\,dx = 2\Big[-1x^3 - 1x\Big]_{0}^{1} = 2(-1 - 1) = -4$$

Step 2. 구간 $[0, 1]$에서의 정적분 계산 (50%)

$$\int_{0}^{1} f(x)\,dx = \Big[x^4 - 1x^3 + 2x^2 - 1x\Big]_{0}^{1} = 1 - 1 + 2 - 1 = 1$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
대칭구간 정적분 도출	$\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = -4$을 구한 경우	5점
구간 $[0, 1]$ 정적분 도출	$\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,dx = 1$를 구한 경우	5점